Affixe du milieu d'un segment - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, on a placé quatre points \(\text A\) , \(\text B\) , \(\text C\)  et \(\text D\) .

1. Lire les affixes de ces quatre points.

2. Conjecturer la nature du quadrilatère \(\text A\text B\text C\text D\) .

3. Démontrer ou invalider cette conjecture.

Solution

1. Par lecture graphique : \(z_\text A=-3+i\) ;  \(z_\text B=5-3i\) ; \(z_\text C=1+i\) et \(z_\text D=-7+5i\) .

2. Il semble que le quadrilatère \(\text A\text B\text C\text D\) soit un parallélogramme.

3. On nomme  \(\text I\) le milieu de \([\text A\text C]\) et  \(\text J\) le milieu de \([\text B\text D]\) . On a \(z_\text I =\dfrac{z_\text A+z_\text C}{2} =\dfrac{-3+i+1+i}{2} =\dfrac{-2+2i}{2} =-1+i\)
et \(z_\text J =\dfrac{z_\text B+z_\text D}{2} =\dfrac{5-3i-7+5i}{2} =\dfrac{-2+2i}{2} =-1+i\)
donc \(z_\text I = z_\text J\) , donc les points  \(\text I\) et  \(\text J\) sont confondus. Par conséquent, les diagonales \([\text A\text C]\)  et \([\text B\text D]\) du quadrilatère  \(\text A\text B\text C\text D\) ont le même milieu, et donc \(\text A\text B\text C\text D\) est un parallélogramme.